[subject]/[topic]

Számítógépes matematika és vizualizációkimaradt

Descartes-szorzat és relációk

Rendezett párok, a Descartes-szorzat és elemszáma, relációk mint részhalmazok, értelmezési tartomány, értékkészlet és inverz reláció.

Forrás: relations.pdf

Descartes-szorzat

Definíció

A×B={(a,b)∣a∈A, b∈B}A \times B = \{(a, b) \mid a \in A,\ b \in B\}: az összes rendezett pár, amelynek első tagja AA-ból, második tagja BB-ből való.

Példa · a gyakorlatról

A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}, B={a,b}B = \{a, b\}.

  • A×B={(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)}A \times B = \{(1,a), (2,a), (3,a), (1,b), (2,b), (3,b)\}
  • B×A={(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}B \times A = \{(a,1), (b,1), (a,2), (b,2), (a,3), (b,3)\}

A kettő nem ugyanaz: (1,a)≠(a,1)(1, a) \ne (a, 1), mert a párban számít a sorrend. Az elemszám mindkettőnél ∣A∣⋅∣B∣=3⋅2=6|A| \cdot |B| = 3 \cdot 2 = 6.

A Descartes-szorzatot táblázatként érdemes elképzelni: a sorok AA elemei, az oszlopok BB elemei, és minden cella egy pár. Innen látszik, hogy ∣A×B∣=∣A∣⋅∣B∣|A \times B| = |A| \cdot |B|.

Reláció

Definíció

Egy AA és BB közötti reláció a Descartes-szorzat egy részhalmaza: R⊆A×BR \subseteq A \times B. Ha (a,b)∈R(a, b) \in R, azt mondjuk, aa relációban áll bb-vel.

Általában egy feltétellel adjuk meg: azokat a párokat válogatjuk ki, amelyekre a feltétel igaz.

Példa · a gyakorlatról

A={1,4,5}A = \{1, 4, 5\}, B={1,2,6}B = \{1, 2, 6\}, R={(a,b)∣a>b}R = \{(a, b) \mid a > b\}.

Végigmegyünk az összes páron:

  • a=1a = 1: 1>11 > 1? nem. 1>21 > 2? nem. 1>61 > 6? nem.
  • a=4a = 4: 4>14 > 1 ✓, 4>24 > 2 ✓, 4>64 > 6? nem.
  • a=5a = 5: 5>15 > 1 ✓, 5>25 > 2 ✓, 5>65 > 6? nem.

R={(4,1),(4,2),(5,1),(5,2)}R = \{(4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)\}.

Ugyanezekkel a halmazokkal R={(a,b)∣a=4}={(4,1),(4,2),(4,6)}R = \{(a, b) \mid a = 4\} = \{(4, 1), (4, 2), (4, 6)\}.

Interaktív

Relációk A × B-ben

A rács A × B összes párja; a színezett cellák vannak benne R-ben.

a \ b126
1
4●●
5●●
|A × B|
3 · 3 = 9
R
{(4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}
|R|
4
értelmezési tartomány
{4, 5}
értékkészlet
{1, 2}
inverz R⁻¹
{(1, 4), (2, 4), (1, 5), (2, 5)}
függvény A → B?
nem van olyan a, amelynek 0 vagy több párja van

Értelmezési tartomány, értékkészlet, inverz

Definíció

Legyen R⊆A×BR \subseteq A \times B.

  • Értelmezési tartomány DRD_R: a párok első koordinátái.
  • Értékkészlet RRR_R: a párok második koordinátái.
  • Inverz reláció R−1={(b,a)∣(a,b)∈R}R^{-1} = \{(b, a) \mid (a, b) \in R\}: minden párt megfordítunk.
Példa · a gyakorlatról

R={(2,4),(2,6),(4,7),(6,9),(7,7)}R = \{(2,4), (2,6), (4,7), (6,9), (7,7)\}

  • DR={2,4,6,7}D_R = \{2, 4, 6, 7\}
  • RR={4,6,7,9}R_R = \{4, 6, 7, 9\}
  • R−1={(4,2),(6,2),(7,4),(9,6),(7,7)}R^{-1} = \{(4,2), (6,2), (7,4), (9,6), (7,7)\}

A (7,7)(7, 7) megfordítva önmaga.

A függvény mint reláció

Egy R⊆A×BR \subseteq A \times B reláció pontosan akkor függvény AA-ból BB-be, ha AA minden eleme pontosan egy párban szerepel első tagként. Ez ugyanaz a feltétel, mint a Diszkrét matematikában az „egyértelmű hozzárendelés”.

Függvény-e az R = {(2,4), (2,6), (4,7), (6,9), (7,7)} reláció?
Tipp

A relációfelfedezőben a „függvény?” sor mutatja, mikor teljesül ez. Próbáld ki az „a = b” feltétellel: ha A⊆BA \subseteq B, az egy függvény (az identitás).