Számítógépes matematika és vizualizációkimaradt

Polinom illesztése pontokra

Hogyan találjuk meg az adott pontokon átmenő egyenest, parabolát vagy magasabb fokú polinomot egyenletrendszerrel, ahogy a GeoGebra FitPoly parancsa.

Forrás: functions.pdf

Függvény és pont

Egy függvény minden $x$ -hez pontosan egy $y$ -t rendel. A grafikon pontjai $(x, f(x))$ alakúak: például $f(x) = x^2$ esetén $x = 2$ -höz a $(2, 4)$ pont tartozik.

Egyenes két ponton át

Két különböző $x$ -koordinátájú ponton pontosan egy egyenes megy át. Az egyenes egyenlete $f(x) = ax + b$ , ahol $a$ a meredekség, $b$ az $y$ -tengelymetszet.

Példa · a gyakorlatról: A(2, 3), B(8, 5)

Mindkét pont koordinátáit behelyettesítjük:

3 = 2a + b, \qquad 5 = 8a + b.

A két egyenletet kivonva $b$ kiesik: $3 - 5 = 2a - 8a$ , azaz $-2 = -6a$ , tehát $a = \frac{1}{3}$ .

Visszahelyettesítve: $3 = \frac{2}{3} + b$ , így $b = \frac{7}{3}$ .

f(x) = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}

GeoGebrában ugyanezt adja a FitPoly(A, B) parancs.

Több pont, magasabb fokszám

$n$ ponton (különböző $x$ -ekkel) pontosan egy legfeljebb $(n-1)$ -edfokú polinom megy át:

2 pont → egyenes ( $ax + b$ ),
3 pont → parabola ( $ax^2 + bx + c$ ),
4 pont → harmadfokú, és így tovább.

Minden pont egy egyenletet ad az ismeretlen együtthatókra, $n$ pont $n$ egyenletet $n$ ismeretlenre.

Példa · parabola három ponton át

$A(0, 1)$ , $B(1, 0)$ , $C(2, 3)$ , $f(x) = ax^2 + bx + c$ .

$A$ : $1 = c$
$B$ : $0 = a + b + c$ , tehát $a + b = -1$
$C$ : $3 = 4a + 2b + c$ , tehát $4a + 2b = 2$ , azaz $2a + b = 1$

A két utolsót kivonva: $a = 2$ , majd $b = -3$ . Tehát $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ . Ellenőrzés: $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ . ✓

Interaktív

Polinom illesztése pontokra

Húzd a pontokat (egész koordinátákra illeszkednek). Új ponttal eggyel nő a fokszám.

2 pont → legfeljebb 1-ed fokú: f(x) = ax + b

Minden pont egy egyenlet:

3 = a·2 + b

5 = a·8 + b

Megoldás: a = 1/3, b = 7/3

f(x) = 1/3x + 7/3

GeoGebra: FitPoly({A, B}, 1)

Figyelem

Ha két pontnak ugyanaz az $x$ -koordinátája (de más az $y$ ), egyetlen függvény sem mehet át mindkettőn, hiszen egy $x$ -hez csak egy $y$ tartozhat. Az egyenletrendszer ilyenkor ellentmondásos.

Megjegyzés

Sok pontra illesztett magas fokú polinom a pontok között gyakran nagyon „hullámzik”. Próbáld ki: tegyél 5 pontot majdnem egy egyenesbe, és húzd el kicsit az egyiket.

Gyakorló feladat

Melyik parabola megy át a $(-1, 4)$ , $(0, 1)$ , $(1, 0)$ pontokon?

Megoldás

$c = 1$ (a második pontból). $4 = a - b + 1$ és $0 = a + b + 1$ , tehát $a - b = 3$ és $a + b = -1$ . Összeadva $2a = 2$ , $a = 1$ , $b = -2$ . Így $f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ . Az $(1, 0)$ pont a csúcs.

[subject]/[topic]

Függvény és pont

Egyenes két ponton át

Több pont, magasabb fokszám

Polinom illesztése pontokra