[subject]/[topic]

Számítógépes matematika és vizualizációkimaradt

Gyökök, szélsőértékek, érintő

Zérushelyek és szélsőértékek polinomoknál, a derivált mint az érintő meredeksége, az érintő egyenlete, és a GeoGebra Root, Extremum, Tangent parancsai.

Forrás: functions.pdf · root_extremum_examples.zip

Gyök (zérushely)

Definíció

Az ff függvény gyöke (zérushelye) az az xx, ahol f(x)=0f(x) = 0, vagyis ahol a grafikon metszi vagy érinti az xx-tengelyt. GeoGebra: Root(f).

Egy nn-edfokú polinomnak legfeljebb nn valós gyöke van. Ha a grafikon csak érinti a tengelyt, az többszörös gyök: például (x−1)2(x - 1)^2-nek az 1 kétszeres gyöke.

A derivált mint meredekség

A derivált f′(x0)f'(x_0) az x0x_0 pontbeli érintő meredeksége: megmutatja, milyen gyorsan és milyen irányban változik ott a függvény.

  • f′(x0)>0f'(x_0) > 0: ott a függvény nő,
  • f′(x0)<0f'(x_0) < 0: ott csökken,
  • f′(x0)=0f'(x_0) = 0: vízszintes az érintő.

Polinomokat tagonként deriválunk az (xn)′=nxn−1(x^n)' = n x^{n-1} szabállyal, a konstans deriváltja 0. Például (x3−3x+1)′=3x2−3(x^3 - 3x + 1)' = 3x^2 - 3.

Szélsőérték

Definíció

Helyi szélsőérték (maximum vagy minimum) ott lehet, ahol f′(x)=0f'(x) = 0 és f′f' ott előjelet vált. Ha f′′(x)<0f''(x) < 0, maximum; ha f′′(x)>0f''(x) > 0, minimum. GeoGebra: Extremum(f).

Példa · f(x) = x³ − 3x + 1
  • f′(x)=3x2−3=0  ⟺  x=±1f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \iff x = \pm 1.
  • f′′(x)=6xf''(x) = 6x: x=−1x = -1-nél negatív, tehát maximum: f(−1)=−1+3+1=3f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3. x=1x = 1-nél pozitív, tehát minimum: f(1)=1−3+1=−1f(1) = 1 - 3 + 1 = -1.
  • Mivel a maximum a tengely fölött, a minimum alatta van, és a függvény −∞-\infty-ből jön és +∞+\infty-be tart, három valós gyöke van.
Figyelem

f′(x)=0f'(x) = 0 még nem jelent szélsőértéket. f(x)=x3f(x) = x^3-ra f′(0)=0f'(0) = 0, de a függvény végig nő, a 0-ban csak „megpihen” (inflexiós pont). Ezért kell az előjelváltás.

Az érintő egyenlete

Az ff grafikonjának P=(x0,f(x0))P = (x_0, f(x_0)) pontbeli érintője az az egyenes, amely átmegy PP-n, és meredeksége m=f′(x0)m = f'(x_0):

y−f(x0)=f′(x0) (x−x0).y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0).

A gyakorlati jegyzet másik módszere: vegyük a Q=(x0+1, f(x0)+m)Q = (x_0 + 1,\ f(x_0) + m) pontot (egyet jobbra, mm-et felfelé), és húzzuk meg a Line(P, Q) egyenest. GeoGebrában közvetlenül: Tangent(x0, f).

Példa

f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1, x0=2x_0 = 2: f(2)=8−6+1=3f(2) = 8 - 6 + 1 = 3, f′(2)=12−3=9f'(2) = 12 - 3 = 9.

Az érintő: y−3=9(x−2)y - 3 = 9(x - 2), azaz y=9x−15y = 9x - 15. A második módszerrel Q=(3,12)Q = (3, 12), és valóban 9⋅3−15=129 \cdot 3 - 15 = 12. ✓

Próbáld ki

A root_extremum_examples fájlok mind betölthetők a gombokkal: másodfokú, kétféle harmadfokú (szélsőértékkel és anélkül) és kétféle negyedfokú. Húzd a csúszkákat, és figyeld, mikor tűnik el két gyök: akkor, amikor egy szélsőérték áthalad a tengelyen.

Interaktív

Polinom vizsgálata

Mozgasd a csúszkákat: figyeld, hogyan jelennek meg és olvadnak össze a gyökök. A kétszeres gyök ott van, ahol egy szélsőérték éppen a tengelyen ül. A P pontot húzva az érintő is mozog.

Betöltés:
f(x)
x³ − 3x + 1
f′(x)
3x² − 3
Root(f)
−1.879, 0.347, 1.532
Extremum(f)
max (−1, 3); min (1, −1)
y-tengelymetszet
(0, 1)
érintő x₀-ban
m = f′(1) = 0, y = 0x − 1
férintőgyökökszélsőértékek
Hány szélsőértéke lehet legfeljebb egy negyedfokú polinomnak?
Gyakorló feladat

Hol van szélsőértéke f(x)=x2−4x+1f(x) = x^2 - 4x + 1-nek, és mi a (0,1)(0, 1) pontbeli érintője?

Megoldás

f′(x)=2x−4=0  ⟺  x=2f'(x) = 2x - 4 = 0 \iff x = 2, és f′′=2>0f'' = 2 > 0, tehát minimum: f(2)=−3f(2) = -3. A (0,1)(0, 1) pontban f′(0)=−4f'(0) = -4, így az érintő y=−4x+1y = -4x + 1.