Számítógépes matematika és vizualizációkimaradt

Vektorok a síkon

Pontok távolsága, két pont közötti vektor, vektorok összeadása, hossza és skalárral való szorzása, a GeoGebra Vector, Length, Distance és Translate parancsaival.

Forrás: vector operations.pdf · vektorok.ggb

Pontok távolsága

Példa · a gyakorlatról: A(2, 3), B(5, 7)

A Pitagorasz-tétel szerint a két pont közötti vízszintes és függőleges eltérés egy derékszögű háromszög befogói:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.

GeoGebra: Distance(A, B).

A vektor

Egy vektor egy irányított szakasz: irány és hossz, de nincs rögzített kezdőpontja. Az $A$ -ból $B$ -be mutató vektor: „vég mínusz kezdet”.

\overrightarrow{AB} = (B_x - A_x,\ B_y - A_y).

Példa

$A(2, 3)$ , $B(5, 7)$ : $\overrightarrow{AB} = (5 - 2, 7 - 3) = (3, 4)$ . GeoGebra: u = Vector(A, B).

Mivel a vektornak nincs helye, ugyanaz a $(3, 4)$ vektor bárhonnan indítható. A vektorok.ggb fájlban ezt mutatja a Translate parancs, amely egy vektor másolatát egy másik pontból indítja.

Összeadás

\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_x + v_x,\ u_y + v_y)

Példa · a gyakorlatról

$\mathbf{u} = (3, 4)$ , $\mathbf{v} = (5, 2)$ : $\mathbf{u} + \mathbf{v} = (8, 6)$ . GeoGebra: w = u + v.

Geometriailag: a két vektort egymás után fűzzük (a második eleje az első végére kerül), vagy közös pontból indítva a paralelogramma átlóját vesszük.

Hossz

\|\mathbf{u}\| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}

$\mathbf{u} = (3, 4)$ esetén $\|\mathbf{u}\| = 5$ . GeoGebra: Length(u). A pontok távolsága éppen a köztük lévő vektor hossza.

Skalárral való szorzás

k \cdot \mathbf{u} = (k\,u_x,\ k\,u_y)

$k = 5$ , $\mathbf{u} = (3, 4)$ : $5\mathbf{u} = (15, 20)$ . GeoGebra: a = k * u.

$k > 1$ : ugyanabba az irányba, hosszabb;
$0 < k < 1$ : rövidebb;
$k < 0$ : ellentétes irányba;
$\|k\mathbf{u}\| = |k| \cdot \|\mathbf{u}\|$ .

Próbáld ki

Interaktív

Vektorlabor

Húzd a nyilak végét (egész koordinátákra illeszkednek). Minden mód a gyakorlati jegyzet számolását mutatja a te számaiddal.

pontok: A(2, 3), B(5, 7)
távolság: d = √((5 − 2)² + (7 − 3)²) = √(9 + 16) = 5
AB⃗ vektor: (5 − 2, 7 − 3) = (3, 4)
GeoGebra: u = Vector(A, B), Distance(A, B)

A távolság éppen az AB⃗ vektor hossza: ugyanaz a Pitagorasz-képlet.

Gyakorló feladat

$A(-1, 2)$ , $B(3, -1)$ . Mennyi $\overrightarrow{AB}$ és $|AB|$ ? Mi az $\overrightarrow{AB}$ irányú, 1 hosszú vektor?

Megoldás

$\overrightarrow{AB} = (4, -3)$ , $|AB| = \sqrt{16 + 9} = 5$ . Az egységvektor: $\frac{1}{5}(4, -3) = (0{,}8;\ -0{,}6)$ .

[subject]/[topic]