[subject]/[topic]

Számítógépes matematika és vizualizációkimaradt

Skaláris szorzat és szög

A skaláris (belső) szorzat koordinátákkal, két vektor szöge, a merőlegesség feltétele és a vetület.

Forrás: vector operations.pdf

A skaláris szorzat

Definíció𝐮⋅𝐯=uxvx+uyvy(teˊrben +uzvz).\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y \quad (\text{térben } + u_z v_z).

Az eredmény egy szám (skalár), nem vektor.

Példa · a gyakorlatról

𝐮=(3,4)\mathbf{u} = (3, 4), 𝐯=(5,2)\mathbf{v} = (5, 2): 𝐮⋅𝐯=3⋅5+4⋅2=23\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 2 = 23. GeoGebra: u * v vagy Dot(u, v).

Két vektor szöge

Tétel𝐮⋅𝐯=∥𝐮∥ ∥𝐯∥cos⁡α,tehaˊtcos⁡α=𝐮⋅𝐯∥𝐮∥ ∥𝐯∥.\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\| \cos \alpha, \qquad\text{tehát}\qquad \cos \alpha = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
Példa · a gyakorlatról

∥𝐮∥=5\|\mathbf{u}\| = 5, ∥𝐯∥=29≈5,385\|\mathbf{v}\| = \sqrt{29} \approx 5{,}385:

cos⁡α=235⋅29≈0,8542,α≈31,33°.\cos \alpha = \frac{23}{5 \cdot \sqrt{29}} \approx 0{,}8542, \qquad \alpha \approx 31{,}33°.

GeoGebra: Angle(u, v).

Figyelem · kerekítés

A gyakorlati jegyzet a koszinuszt 0,85-re kerekíti, mielőtt arkuszkoszinuszt von, és így 31,79°31{,}79°-ot kap. A pontos érték ≈31,33°\approx 31{,}33°. Mindig csak a végén kerekíts: az arkuszkoszinusz érzékeny a bemenet kis változásaira.

Merőlegesség

Mivel cos⁡90°=0\cos 90° = 0:

𝐮⊥𝐯  ⟺  𝐮⋅𝐯=0(𝐮,𝐯≠𝟎).\mathbf{u} \perp \mathbf{v} \iff \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \qquad (\mathbf{u}, \mathbf{v} \ne \mathbf{0}).

Az előjelből a szög fajtája is látszik: pozitív skaláris szorzat hegyesszöget, negatív tompaszöget jelent.

Példa

(2,−1)⋅(1,2)=2−2=0(2, -1) \cdot (1, 2) = 2 - 2 = 0, tehát merőlegesek. Melyik kk-ra merőleges (k,3)(k, 3) a (2,−4)(2, -4)-re? 2k−12=02k - 12 = 0, tehát k=6k = 6.

Vetület

𝐮\mathbf{u} merőleges vetülete a 𝐯\mathbf{v} egyenesére: előjeles hossza 𝐮⋅𝐯∥𝐯∥\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}. Ez a skaláris szorzat szemléletes jelentése: „mennyi 𝐮\mathbf{u}-ból mutat 𝐯\mathbf{v} irányába”.

Próbáld ki

Forgasd az egyik vektort, és figyeld, hol vált előjelet a skaláris szorzat: pontosan merőleges helyzetben.

Interaktív

Vektorlabor

Húzd a nyilak végét (egész koordinátákra illeszkednek). Minden mód a gyakorlati jegyzet számolását mutatja a te számaiddal.

u · v
3·5 + 4·2 = 23
‖u‖, ‖v‖
5, √29
cos α
23 / (5 · √29) = 0.8542
α
31.33°
GeoGebra
Dot(u, v), Angle(u, v)

u · v > 0 → hegyesszög

A szaggatott vonal u merőleges vetülete v egyenesére; a vetület előjeles hossza u·v / ‖v‖.

Gyakorló feladat

Mekkora szöget zár be (1,1)(1, 1) és (1,0)(1, 0)?

Megoldás

cos⁡α=12⋅1=22\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt 2 \cdot 1} = \frac{\sqrt 2}{2}, tehát α=45°\alpha = 45°.