[subject]/[topic]

Számítógépes matematika és vizualizációkimaradt

Vektoriális és vegyes szorzat

A térbeli vektorok vektoriális szorzata koordinátákkal és geometriailag, a vegyes szorzat, a paralelepipedon térfogata és a komplanaritás feltétele.

Forrás: vector operations.pdf

Vektoriális szorzat

Csak térbeli vektorokra értelmezzük. Legyen 𝐛=(bx,by,bz)\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z), 𝐜=(cx,cy,cz)\mathbf{c} = (c_x, c_y, c_z).

Definíció𝐛×𝐜=(bycz−bzcy,  bzcx−bxcz,  bxcy−bycx)\mathbf{b} \times \mathbf{c} = \big(b_y c_z - b_z c_y,\ \ b_z c_x - b_x c_z,\ \ b_x c_y - b_y c_x\big)

Az eredmény egy vektor, amely

  • merőleges 𝐛\mathbf{b}-re és 𝐜\mathbf{c}-re is,
  • hossza a 𝐛\mathbf{b} és 𝐜\mathbf{c} által kifeszített paralelogramma területe,
  • iránya a jobbkéz-szabály szerinti: ha a jobb kéz ujjai 𝐛\mathbf{b}-ből 𝐜\mathbf{c} felé görbülnek, a hüvelykujj mutatja.
Tipp · megjegyzés: ciklikus minta

Az első koordinátában y,zy, z; a másodikban z,xz, x; a harmadikban x,yx, y szerepel. Mindig „a következő kettő”, előbb pozitív, aztán fordított sorrendben negatív előjellel.

Példa

(1,0,0)×(0,1,0)=(0⋅0−0⋅1, 0⋅0−1⋅0, 1⋅1−0⋅0)=(0,0,1)(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 1,\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0,\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (0, 0, 1). Az xx és yy tengely irányú egységvektorok szorzata a zz irányú egységvektor.

Példa · a gyakorlatról

𝐛=(4,5,6)\mathbf{b} = (4, 5, 6), 𝐜=(7,8,9)\mathbf{c} = (7, 8, 9):

𝐛×𝐜=(5⋅9−6⋅8, 6⋅7−4⋅9, 4⋅8−5⋅7)=(45−48, 42−36, 32−35)=(−3,6,−3).\mathbf{b} \times \mathbf{c} = (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8,\ 6 \cdot 7 - 4 \cdot 9,\ 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = (45 - 48,\ 42 - 36,\ 32 - 35) = (-3, 6, -3).

GeoGebra: u = Cross(b, c).

Figyelem

𝐛×𝐜=−(𝐜×𝐛)\mathbf{b} \times \mathbf{c} = -(\mathbf{c} \times \mathbf{b}): a sorrend számít, felcserélve ellentétes irányú vektort kapunk.

Vegyes szorzat

Definíció

Az 𝐚⋅(𝐛×𝐜)\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) szám a három vektor vegyes szorzata.

  • Abszolútértéke az 𝐚,𝐛,𝐜\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} által kifeszített paralelepipedon térfogata.
  • Megegyezik azzal a 3×33 \times 3-as determinánssal, amelynek sorai 𝐚\mathbf{a}, 𝐛\mathbf{b}, 𝐜\mathbf{c}. (A determinánsok a Diszkrét matematika lineáris algebra részében jönnek.)
  • Pontosan akkor 0, ha a három vektor egy síkban van (komplanárisak).
Példa · a gyakorlatról

𝐚=(1,2,3)\mathbf{a} = (1, 2, 3), 𝐛×𝐜=(−3,6,−3)\mathbf{b} \times \mathbf{c} = (-3, 6, -3):

𝐚⋅(𝐛×𝐜)=1⋅(−3)+2⋅6+3⋅(−3)=−3+12−9=0.\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0.

A három vektor egy síkban van: valóban, (7,8,9)=2⋅(4,5,6)−(1,2,3)(7, 8, 9) = 2 \cdot (4, 5, 6) - (1, 2, 3). GeoGebra: d = a * u.

Példa

Az egységkocka élvektorai: 𝐚=(1,0,0)\mathbf{a} = (1, 0, 0), 𝐛=(0,1,0)\mathbf{b} = (0, 1, 0), 𝐜=(0,0,1)\mathbf{c} = (0, 0, 1). 𝐛×𝐜=(1,0,0)\mathbf{b} \times \mathbf{c} = (1, 0, 0), és 𝐚⋅(1,0,0)=1\mathbf{a} \cdot (1, 0, 0) = 1: a kocka térfogata 1. ✓

Próbáld ki

Interaktív

Vektoriális és vegyes szorzat

GeoGebrában: u = Cross(b, c), majd d = a * u.

b × c:

(5·9 − 6·8, 6·7 − 4·9, 4·8 − 5·7) = (−3, 6, −3)

Merőleges-e mindkettőre? (b×c)·b = 0, (b×c)·c = 0. A kifeszített paralelogramma területe ‖b×c‖ = 3√6.

a · (b × c):

1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = 0

0 → a, b, c egy síkban vannak (a paralelepipedon lapos, térfogata 0)

Gyakorló feladat

Egy síkban van-e (1,1,0)(1, 1, 0), (0,1,1)(0, 1, 1) és (1,0,−1)(1, 0, -1)?

Megoldás

𝐛×𝐜=(0,1,1)×(1,0,−1)=(1⋅(−1)−1⋅0, 1⋅1−0⋅(−1), 0⋅0−1⋅1)=(−1,1,−1)\mathbf{b} \times \mathbf{c} = (0, 1, 1) \times (1, 0, -1) = (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 0,\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1),\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (-1, 1, -1). 𝐚⋅(−1,1,−1)=−1+1+0=0\mathbf{a} \cdot (-1, 1, -1) = -1 + 1 + 0 = 0. Igen, egy síkban vannak: (1,1,0)=(0,1,1)+(1,0,−1)(1, 1, 0) = (0, 1, 1) + (1, 0, -1).