[subject]/[topic]

Diszkrét matematikaismétlés

Függvények

A függvény mint egyértelmű hozzárendelés, elemi függvények, transzformációk, valamint az injektív, szürjektív és bijektív függvények.

Forrás: DiMat_ea.pdf 8–11. dia · Feladatsor 1.9–1.12

Mi a függvény?

Definíció · függvény

Az f:D→Rf : D \to R függvény egyértelmű hozzárendelés: a DD halmaz (értelmezési tartomány) minden xx eleméhez pontosan egy f(x)∈Rf(x) \in R elemet rendel. RR a képtér.

Jelölés: f:ℝ→ℝ, x↦x2−3x+2f : \R \to \R,\ x \mapsto x^2 - 3x + 2. A ↦\mapsto nyíl elemek közti hozzárendelést jelöl, a →\to halmazok közöttit.

A függvény felfogható rendezett párok halmazaként is: f={(x,f(x))∣x∈D}⊂D×Rf = \{(x, f(x)) \mid x \in D\} \subset D \times R. Ez éppen a függvény grafikonja. Az egyértelműség itt azt jelenti, hogy

(x,y1)∈f eˊs (x,y2)∈f  ⟹  y1=y2.(x, y_1) \in f \text{ és } (x, y_2) \in f \implies y_1 = y_2.

Függvény vagy nem?

Példa · az előadásból
  • x∈ℝ, x↦x2x \in \R,\ x \mapsto x^2: függvény.
  • x∈ℝ+, x↦x \in \R^+,\ x \mapsto „olyan szám, aminek a négyzete xx”: nem függvény, mert x=4x = 4-hez a 22 és a −2-2 is jó, tehát nem egyértelmű.
  • n∈ℕ, n↦n \in \N,\ n \mapsto „olyan páratlan szám, ami osztója nn-nek”: nem függvény, például n=15n = 15-höz az 1,3,5,151, 3, 5, 15 mind jó.
  • n∈ℕ, n↦n \in \N,\ n \mapsto „nn legnagyobb páratlan osztója”: függvény. Például f(12)=3f(12) = 3, f(40)=5f(40) = 5, f(7)=7f(7) = 7.

A különbség mindig ugyanaz: a hozzárendelés minden bemenethez pontosan egy kimenetet ad-e.

Elemi függvények

névképletmegjegyzés
konstansf(x)=cf(x) = cvízszintes egyenes
elsőfokúf(x)=mx+b, m≠0f(x) = mx + b,\ m \ne 0mm a meredekség, bb az yy-tengelymetszet
másodfokúf(x)=ax2+bx+c, a≠0f(x) = ax^2 + bx + c,\ a \ne 0parabola
exponenciálisf(x)=ax, a>0, a≠1f(x) = a^x,\ a > 0,\ a \ne 1mindig pozitív
logaritmusf(x)=log⁡ax, a>0, a≠1f(x) = \log_a x,\ a > 0,\ a \ne 1csak x>0x > 0-ra értelmezett
abszolútérték, előjel, identitás∣x∣\lvert x \rvert, sgn⁡x\operatorname{sgn} x, xx

A másodfokú függvény gyöktényezős alakja, ha vannak valós gyökei:

ax2+bx+c=a (x−x1)(x−x2),x1,2=−b±b2−4ac2a.ax^2 + bx + c = a\,(x - x_1)(x - x_2), \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Példa · 1.9 (e)

f(x)=2x2+8x−10f(x) = 2x^2 + 8x - 10. A gyökök: x1,2=−8±64+804=−8±124x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{4} = \frac{-8 \pm 12}{4}, tehát 11 és −5-5. Gyöktényezős alakban f(x)=2(x−1)(x+5)f(x) = 2(x - 1)(x + 5). A csúcs a két gyök közepén van, x=−2x = -2-nél: f(−2)=8−16−10=−18f(-2) = 8 - 16 - 10 = -18.

Polinomok gyökeit és szélsőértékeit interaktívan a SzMV polinomvizsgálójával is nézheted.

Egyenes két pontból

Példa · 1.9 (d)

Melyik elsőfokú függvény grafikonja megy át a (−3,1)(-3, 1) és a (2,−2)(2, -2) pontokon?

A meredekség: m=−2−12−(−3)=−35m = \frac{-2 - 1}{2 - (-3)} = -\frac{3}{5}. Behelyettesítve az első pontot: 1=−35⋅(−3)+b=95+b1 = -\frac{3}{5} \cdot (-3) + b = \frac{9}{5} + b, így b=−45b = -\frac{4}{5}.

Tehát f(x)=−35x−45f(x) = -\frac{3}{5}x - \frac{4}{5}. Ellenőrzés: f(2)=−65−45=−2f(2) = -\frac{6}{5} - \frac{4}{5} = -2. ✓

Függvénytranszformációk

Az 1.11-es feladat transzformációihoz ezt a táblázatot érdemes megjegyezni (c>0c > 0):

képlethatás a grafikonra
f(x)+cf(x) + celtolás felfelé cc-vel
f(x−c)f(x - c)eltolás jobbra cc-vel (a zárójelen belül minden „fordítva” hat)
c⋅f(x)c \cdot f(x)függőleges nyújtás cc-szeresére
f(c x)f(c\,x)vízszintes összenyomás cc-ed részére
−f(x)-f(x)tükrözés az xx-tengelyre
f(−x)f(-x)tükrözés az yy-tengelyre
Példa

3f(−x)−43f(-x) - 4: először tükrözzük ff-et az yy-tengelyre, aztán háromszorosára nyújtjuk függőlegesen, végül 4-gyel lejjebb toljuk.

Figyelem

Az f(2x−4)f(2x - 4) nem „összenyomás 2-vel, aztán eltolás 4-gyel jobbra”. Írd át: f(2x−4)=f(2(x−2))f(2x - 4) = f(2(x - 2)), tehát összenyomás 2-vel, majd eltolás 2-vel jobbra.

Injektív, szürjektív, bijektív

Legyen f:D→Rf : D \to R.

Definíció · injektív

ff injektív, ha f(a)=f(b)  ⟹  a=bf(a) = f(b) \implies a = b. Vagyis különböző elemekhez különböző értékeket rendel.

Definíció · szürjektív

ff szürjektív, ha minden y∈Ry \in R-hez van x∈Dx \in D, hogy f(x)=yf(x) = y. Vagyis a képtér minden eleme „el van találva”: a képtér = értékkészlet.

Definíció · bijektív

ff bijektív (kölcsönösen egyértelmű), ha injektív és szürjektív is.

Tipp · vízszintes egyenesek

Valós függvénynél rajzolj vízszintes egyeneseket a grafikonra. Injektív, ha egyik sem metszi egynél többször. Szürjektív, ha a képtér minden magasságában húzott egyenes metszi legalább egyszer.

Figyelem

Hogy szürjektív-e, az a képtértől függ. sin⁡:ℝ→ℝ\sin : \R \to \R nem szürjektív (a 2-t sosem veszi fel), de sin⁡:[−π/2,π/2]→[−1,1]\sin : [-\pi/2, \pi/2] \to [-1, 1] már bijektív.

Interaktív

Sorold be a függvényeket (1.12 stílusban)

Válassz minden sorban; a magyarázat a választás után jelenik meg.

f: ℝ → ℝ, x ↦ x²
f: [0, ∞) → [0, ∞), x ↦ x²
f: ℝ → ℝ, x ↦ x³
f: ℝ → ℝ, x ↦ x³ − x
f: ℝ → ℝ, x ↦ 2ˣ
f: ℝ → ℝ, x ↦ ax + b (a ≠ 0)
f: ℝ → ℝ, x ↦ sin x
f: [−π/2, π/2] → [−1, 1], x ↦ sin x
f: ℕ → ℕ, n ↦ n legnagyobb páratlan osztója

Gyakorló feladatok

Gyakorló feladat · 1.10 (c)

Melyik elsőfokú függvény grafikonja illeszkedik a (−2,0)(-2, 0) és (3,4)(3, 4) pontokra?

Megoldás

m=4−03−(−2)=45m = \frac{4 - 0}{3 - (-2)} = \frac{4}{5}. Az első pontból: 0=45⋅(−2)+b0 = \frac{4}{5} \cdot (-2) + b, tehát b=85b = \frac{8}{5}. Így f(x)=45x+85f(x) = \frac{4}{5}x + \frac{8}{5}. Ellenőrzés: f(3)=125+85=4f(3) = \frac{12}{5} + \frac{8}{5} = 4. ✓

Gyakorló feladat · 1.12 (a)

Injektív, szürjektív, bijektív-e f(x)=x2−6x+9f(x) = x^2 - 6x + 9 (ℝ→ℝ\R \to \R)?

Megoldás

f(x)=(x−3)2f(x) = (x - 3)^2, egy felfelé nyíló parabola, csúcsa (3,0)(3, 0). Nem injektív, mert f(2)=f(4)=1f(2) = f(4) = 1. Nem szürjektív, mert negatív értéket nem vesz fel. Tehát egyik sem.