[subject]/[topic]

Diszkrét matematikakimaradt

Komplex számok algebrai alakja

Miért kellenek a komplex számok, az algebrai alak, összeadás, szorzás, osztás, az i hatványai, konjugált, abszolútérték, a Gauss-sík és a negatív diszkriminánsú másodfokú egyenletek.

Forrás: DiMat_ea.pdf 38–40., 55. dia · Feladatsor 4.1–4.3

Miért kellenek?

Minden számkör-bővítés oka egy megoldhatatlan egyenlet:

egyenlethol nincs megoldása?bővítés
5+x=35 + x = 3ℕ\Nℤ\Z
5⋅x=35 \cdot x = 3ℤ\Zℚ\Q
x2=3x^2 = 3ℚ\Qℝ\R
x2=−1x^2 = -1ℝ\Rℂ\C

Az utolsó lépésben bevezetünk egy új számot, az ii képzetes egységet, amelyre i2=−1i^2 = -1.

Az algebrai alak

Definíció

Az a+bia + bi alakú számok, ahol a,b∈ℝa, b \in \R és i2=−1i^2 = -1, a komplex számok. Halmazuk ℂ\C.

z=a+biz = a + bi a zz algebrai alakja; a=Re⁡za = \operatorname{Re} z a valós rész, b=Im⁡zb = \operatorname{Im} z a képzetes rész (ez valós szám, ii nélkül!).

Két komplex szám akkor egyenlő, ha a valós és a képzetes részük is egyenlő. A valós számok azok, amelyekre b=0b = 0.

Összeadás és szorzás

Úgy számolunk, mint a többtagú kifejezésekkel, és ahol i2i^2 jön elő, azt −1-1-re cseréljük:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd i2=(ac−bd)+(ad+bc)i.(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd\,i^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.
Példa · az előadásból

z=2−3iz = 2 - 3i, w=−1+4iw = -1 + 4i:

  • z+w=1+iz + w = 1 + i
  • zw=(2⋅(−1)−(−3)⋅4)+(2⋅4+(−3)(−1)) i=(−2+12)+(8+3)i=10+11izw = (2 \cdot (-1) - (-3) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-3)(-1))\,i = (-2 + 12) + (8 + 3)i = 10 + 11i
  • (2−i)2=4−4i+i2=3−4i(2 - i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 3 - 4i
  • (1+2i)3=(1+2i)(−3+4i)=−3+4i−6i+8i2=−11−2i(1 + 2i)^3 = (1 + 2i)(-3 + 4i) = -3 + 4i - 6i + 8i^2 = -11 - 2i

Az i hatványai

i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1,i5=i, …i^1 = i,\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1,\quad i^5 = i,\ \dots

Négyesével ismétlődnek, ezért ini^n értékét a kitevő 4-es maradéka dönti el.

Példa

i13=ii^{13} = i (mert 13=4⋅3+113 = 4 \cdot 3 + 1), i2017=ii^{2017} = i (2017≡1(mod4)2017 \equiv 1 \pmod 4), i100=1i^{100} = 1, i6=−1i^{6} = -1.

Mennyi i⁶ + 3i⁵ − 2i³ + i² − 1? (4.2 (c))

Konjugált és abszolútérték

Definíció

A z=a+biz = a + bi konjugáltja z‾=a−bi\overline{z} = a - bi, abszolútértéke ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.

Tétel

z⋅z‾=∣z∣2z \cdot \overline{z} = |z|^2. Ez mindig valós, nemnegatív szám.

Példa

(5−2i)(5+2i)=25+10i−10i−4i2=25+4=29=∣5−2i∣2(5 - 2i)(5 + 2i) = 25 + 10i - 10i - 4i^2 = 25 + 4 = 29 = |5 - 2i|^2.

Osztás

Osztásnál a törtet a nevező konjugáltjával bővítjük. Így a nevező valós lesz, ∣w∣2|w|^2:

zw=z⋅w‾w⋅w‾=z⋅w‾∣w∣2.\frac{z}{w} = \frac{z \cdot \overline{w}}{w \cdot \overline{w}} = \frac{z \cdot \overline{w}}{|w|^2}.
Példa · 4.2 (d)1−i2+i=(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=2−i−2i+i24+1=1−3i5=15−35i.\frac{1 - i}{2 + i} = \frac{(1 - i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{2 - i - 2i + i^2}{4 + 1} = \frac{1 - 3i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{3}{5}i.

És egy rövidebb: 5+3ii=(5+3i)(−i)i⋅(−i)=−5i−3i21=3−5i\frac{5 + 3i}{i} = \frac{(5 + 3i)(-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-5i - 3i^2}{1} = 3 - 5i.

Interaktív

Műveletek algebrai alakban

Add meg z = a + bi és w = c + di valós és képzetes részét.

z = 2 − 3i,   w = −1 + 4i

z + w
(2 + (−1)) + (−3 + 4)i = 1 + i
z − w
(2 − (−1)) + (−3 − 4)i = 3 − 7i
z · w
(2·(−1) − (−3)·4) + (2·4 + (−3)·(−1))i = 10 + 11i
z̄, w̄
2 + 3i, −1 − 4i
|z|², |w|²
z·z̄ = 13, w·w̄ = 17
z / w
z·w̄ / (w·w̄) = (−14 − 5i) / 17 = −0.824 − 0.294i

Osztásnál a számlálót és a nevezőt is a nevező konjugáltjával szorozzuk, így a nevező valós lesz: w·w̄ = |w|².

A Gauss-féle számsík

A z=a+biz = a + bi számot egyértelműen meghatározza az (a,b)(a, b) pár, ezért a sík egy pontjaként (vagy az origóból oda mutató vektorként) ábrázoljuk. A vízszintes tengely a valós, a függőleges a képzetes tengely.

  • ∣z∣|z| a pont távolsága az origótól (Pitagorasz-tétel).
  • z‾\overline{z} a valós tengelyre vett tükörkép.
  • Összeadás: a vektorok összeadása (paralelogramma-szabály).
Interaktív

A Gauss-féle számsík

Húzd a pontokat (rácsra illeszkednek), vagy írj be pontos értékeket. A módok közt váltva látszik a szorzás, a hatványozás és a gyökvonás.

algebrai alak
z = 2 + 3i
|z|
√(2² + 3²) = √13
síknegyed
I.
φ₀
cos φ₀ = |a|/|z| ⇒ φ₀ = 0.9828 rad
φ
0.9828 rad (56.31°)
trigonometrikus alak
√13·(cos 0.9828 rad + i·sin 0.9828 rad)
konjugált
z̄ = 2 − 3i, z·z̄ = 13

Másodfokú egyenletek a komplex számok körében

Az ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 valós együtthatós egyenlet (a≠0a \ne 0) esetei:

  1. b2−4ac>0b^2 - 4ac > 0: két valós gyök,
  2. b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0: egy kétszeres valós gyök,
  3. b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0: két komplex gyök, egymás konjugáltjai:
x1,2=−b2a±i 4ac−b22a.x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm i\,\frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}.
Példa · az előadásból

x2+2x+2=0x^2 + 2x + 2 = 0: x1,2=−2±4−82=−2±−42=−2±2i2=−1±ix_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i.

Gyakorló feladatok

Gyakorló feladat · 4.1

Oldd meg ℂ\C-ben: (a) x2+4=0x^2 + 4 = 0, (c) x2−x+1=0x^2 - x + 1 = 0, (d) x3−6x2+13x=0x^3 - 6x^2 + 13x = 0.

Megoldás
  • (a) x2=−4x^2 = -4, x=±2ix = \pm 2i.
  • (c) x=1±1−42=1±3 i2x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}\, i}{2}.
  • (d) x(x2−6x+13)=0x(x^2 - 6x + 13) = 0, tehát x=0x = 0, vagy x=6±36−522=6±4i2=3±2ix = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2} = \frac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i.
Gyakorló feladat · 4.3 (a)

Oldd meg: z+2z‾=9+2iz + 2\overline{z} = 9 + 2i. (A feladatsorban a második zz felülvonással szerepel.)

Megoldás

Legyen z=a+biz = a + bi. Ekkor a+bi+2(a−bi)=3a−bi=9+2ia + bi + 2(a - bi) = 3a - bi = 9 + 2i. A valós és képzetes részeket összevetve a=3a = 3, b=−2b = -2, tehát z=3−2iz = 3 - 2i.

Gyakorló feladat · 4.3 (c)

Oldd meg: i3⋅z=−3−2ii^3 \cdot z = -3 - 2i.

Megoldás

i3=−ii^3 = -i, így z=−3−2i−i=3+2ii=(3+2i)(−i)=−3i−2i2=2−3iz = \frac{-3 - 2i}{-i} = \frac{3 + 2i}{i} = (3 + 2i)(-i) = -3i - 2i^2 = 2 - 3i. Ellenőrzés: −i(2−3i)=−2i+3i2=−3−2i-i(2 - 3i) = -2i + 3i^2 = -3 - 2i. ✓