Diszkrét matematikakimaradt

Trigonometrikus alak és Moivre-képlet

A szinusz és koszinusz az egységkörön, a komplex szám abszolútértéke és irányszöge, átváltás algebrai és trigonometrikus alak között, szorzás, osztás és hatványozás trigonometrikus alakban.

Forrás: DiMat_ea.pdf 41–51. dia · Feladatsor 4.4–4.6

Szinusz és koszinusz az egységkörön

Forgassuk el az origóból induló, $x$ -tengely irányú egységvektort pozitív irányba (az óramutatóval ellentétesen) $\alpha$ szöggel. A kapott pont első koordinátája $\cos \alpha$ , a második $\sin \alpha$ .

Mindkettő $2\pi$ szerint periodikus, értékük $[-1, 1]$ -ben van.
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ (Pitagorasz).
$\cos$ páros: $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ ; $\sin$ páratlan: $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$ .

A gyakran kellő értékek:

$\alpha$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$	$\pi$	$3\pi/2$
$\cos \alpha$	$1$	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1/2$	$0$	$-1$	$0$
$\sin \alpha$	$0$	$1/2$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{3}/2$	$1$	$0$	$-1$

A trigonometrikus alak

A $z = a + bi$ pontot nemcsak a két koordinátája határozza meg, hanem az is, milyen messze van az origótól, és milyen irányban.

Definíció

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ az abszolútérték (a vektor hossza).
$\varphi$ , az irányszög (argumentum): a $(a, b)$ vektor és a valós tengely pozitív fele által bezárt szög, pozitív forgásirányban, $\varphi \in [0, 2\pi)$ .

Ekkor $a = |z| \cos \varphi$ , $b = |z| \sin \varphi$ , és

z = |z|\,(\cos \varphi + i \sin \varphi).

Ez $z$ trigonometrikus alakja.

Algebrai alakból trigonometrikusba

A tengelyeken fekvő számok könnyűek:

$z$	$\lvert z \rvert$	$\varphi$
$2$	2	$0$
$-5$	5	$\pi$
$3i$	3	$\pi/2$
$-2i$	2	$3\pi/2$

A többinél (az előadás módszere):

Számold ki $|z|$ -t, és döntsd el, melyik síknegyedben van $z$ : a valós rész ( $\cos$ ) és a képzetes rész ( $\sin$ ) előjele szerint.

Számold ki a hegyesszöget: $\cos \varphi_0 = \dfrac{|a|}{|z|}$ , ahol $0 < \varphi_0 < \pi/2$ .

Igazítsd a síknegyedhez: I. $\varphi = \varphi_0$ ; II. $\varphi = \pi - \varphi_0$ ; III. $\varphi = \pi + \varphi_0$ ; IV. $\varphi = 2\pi - \varphi_0$ .

Példa · az előadásból

$1 + \sqrt{3}i$ : $|z| = 2$ , I. negyed, $\cos \varphi_0 = \frac{1}{2}$ , $\varphi = \frac{\pi}{3}$ . Tehát $z = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)$ .
$-2 + 2i$ : $|z| = \sqrt{8}$ , II. negyed, $\cos \varphi_0 = \frac{2}{\sqrt 8} = \frac{\sqrt 2}{2}$ , $\varphi_0 = \frac{\pi}{4}$ , $\varphi = \frac{3\pi}{4}$ .
$-\sqrt{3} - i$ : $|z| = 2$ , III. negyed, $\cos \varphi_0 = \frac{\sqrt 3}{2}$ , $\varphi_0 = \frac{\pi}{6}$ , $\varphi = \frac{7\pi}{6}$ .
$1 - i$ : $|z| = \sqrt{2}$ , IV. negyed, $\varphi_0 = \frac{\pi}{4}$ , $\varphi = \frac{7\pi}{4}$ .

Figyelem

A $\tan \varphi = b/a$ képlettel könnyű rossz negyedbe kerülni: $-2 + 2i$ -re és $2 - 2i$ -re is $-1$ -et ad. Mindig nézd meg az előjeleket, vagy rajzold le a számot.

Trigonometrikusból algebraiba

Csak ki kell számolni a $\cos$ és $\sin$ értékét.

Példa · az előadásból

$|z| = 3$ , $\varphi = \frac{\pi}{4}$ : $z = 3\left(\frac{\sqrt 2}{2} + i\frac{\sqrt 2}{2}\right) = \frac{3\sqrt 2}{2} + \frac{3\sqrt 2}{2}\,i$ .

Szorzás, osztás, hatványozás

Legyen $z_1 = |z_1|(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$ és $z_2 = |z_2|(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$ .

Tétel

z_1 z_2 = |z_1||z_2|\,\big(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)\big)

\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|}\,\big(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\big) \quad (z_2 \ne 0)

Szavakkal: szorzásnál a hosszak szorzódnak, a szögek összeadódnak. Egy komplex számmal szorozni tehát a síkon egy nyújtás és forgatás. Például $i$ -vel szorozni $90°$ -os forgatás.

Tétel · Moivre-képlet

Ha $z = |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ és $n \in \Z$ , akkor

z^n = |z|^n\,\big(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)\big).

Példa · az előadásból

$z_1 = 3\left(\cos \frac{\pi}{5} + i \sin \frac{\pi}{5}\right)$ , $z_2 = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)$ .

$z_1 z_2 = 6\left(\cos \frac{8\pi}{15} + i \sin \frac{8\pi}{15}\right)$ , mert $\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + 5\pi}{15}$ .
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{2}\left(\cos \frac{28\pi}{15} + i \sin \frac{28\pi}{15}\right)$ , mert $\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{15}$ , és ehhez $2\pi$ -t adunk.
$z_1^4 = 81\left(\cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}\right)$ .

Példa · az előadásból: (1 − i)⁶⁰

$1 - i = \sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4}\right)$ . A Moivre-képlettel:

(1 - i)^{60} = (\sqrt 2)^{60}\left(\cos \frac{420\pi}{4} + i \sin \frac{420\pi}{4}\right) = 2^{30}\,(\cos 105\pi + i \sin 105\pi).

$105\pi$ ugyanoda mutat, mint $\pi$ (páratlanszor fél fordulat), így $\cos 105\pi = -1$ , $\sin 105\pi = 0$ . Az eredmény $-2^{30}$ .

Interaktív

A Gauss-féle számsík

Húzd a pontokat (rácsra illeszkednek), vagy írj be pontos értékeket. A módok közt váltva látszik a szorzás, a hatványozás és a gyökvonás.

Re zIm zRe wIm w rácsra illesztés

algebrai alak: z = 1 + i
|z|: √(1² + 1²) = √2
síknegyed: I.
φ₀: cos φ₀ = |a|/|z| ⇒ φ₀ = π/4
φ: π/4 (45°)
trigonometrikus alak: √2·(cos π/4 + i·sin π/4)
konjugált: z̄ = 1 − i, z·z̄ = 2

Szorzás w = i-vel:

(1·0 − 1·1) + (1·1 + 1·0)i = −1 + i

Trigonometrikusan: a hosszak szorzódnak (1.414 · 1 = 1.414), a szögek összeadódnak (π/4 + π/2 = 3π/4).

Tipp

A „Hatványok” módban figyeld meg: ha $|z| > 1$ , a hatványok kifelé csavarodó spirálon vannak; ha $|z| = 1$ , körbe járnak az egységkörön.

Gyakorló feladatok

Gyakorló feladat · 4.4 (f), (g)

Add meg a trigonometrikus alakot: (f) $-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3}{2}i$ , (g) $-3 - 3\sqrt{3}i$ .

Megoldás

(f) $|z| = \sqrt{\frac14 + \frac34} = 1$ , II. negyed, $\cos \varphi_0 = \frac12$ , $\varphi_0 = \frac{\pi}{3}$ , $\varphi = \frac{2\pi}{3}$ . Tehát $z = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}$ .
(g) $|z| = \sqrt{9 + 27} = 6$ , III. negyed, $\cos \varphi_0 = \frac{3}{6} = \frac12$ , $\varphi_0 = \frac{\pi}{3}$ , $\varphi = \frac{4\pi}{3}$ . Tehát $z = 6\left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right)$ .

[subject]/[topic]

Szinusz és koszinusz az egységkörön

A trigonometrikus alak

Algebrai alakból trigonometrikusba

Trigonometrikusból algebraiba

Szorzás, osztás, hatványozás

A Gauss-féle számsík

Gyakorló feladatok