Az informatika logikai alapjaitalán kimaradt

Állítások és az elsőrendű nyelv

Mi a helyes következtetés, mi az állítás, hogyan formalizálunk magyar mondatokat, és miből épül fel az elsőrendű logikai nyelv (logikai és nemlogikai jelek, termek, formulák).

Forrás: eloadas02-2026.pdf

Miről szól a logika?

A logika a helyes következtetés tudománya. Arra keresi a választ, mikor következik egy állítás más állításokból, pusztán a formájuk miatt, függetlenül attól, miről szólnak.

Példa

„Ha esik, vizes az út. Esik. Tehát vizes az út.” És: „Ha Feri idősebb Péternél, több gyertya van a tortáján. Feri idősebb Péternél. Tehát több gyertya van a tortáján.”

A két következtetés tartalma különbözik, a formájuk azonos: „Ha A, akkor B. A. Tehát B.” Ez a forma minden esetben helyes. Ezt fogjuk precízen megfogalmazni.

Állítások és logikai kötőszavak

Definíció · állítás

Állításon olyan mondatot értünk, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis.

Az „Esik az eső.” állítás. A „Csukd be az ablakot!” és a „Hány óra van?” nem az.

Állításokból logikai kötőszavakkal (és, vagy, nem, ha… akkor, akkor és csak akkor) összetett állításokat képezhetünk.

Definíció · extenzionális logika

Az összetett állítás igazságértéke csak a részállítások igazságértékétől és a kötőszavak jelentésétől függ. A kötőszavak tehát igazságfüggvények.

Példa

„Esik az eső és süt a nap” pontosan akkor igaz, ha mindkét részállítás igaz. Hogy miről szól a két rész, nem számít.

Ellenpélda, nem extenzionális: „A vőlegény aggódott, mert a menyasszony késett.” Hiába igaz mindkét rész, a „mert” azt is állítja, hogy ok-okozati kapcsolat van köztük, és ezt az igazságértékek nem döntik el. Ilyen (intenzionális) logikával nem foglalkozunk.

Formalizálás lépésről lépésre

Példa · az előadásból: Juli és Éva

„Juli elmegy, és Éva itt marad, vagy mindketten elmennek, és Juli vissza sem jön, de Éva vagy visszajön, vagy nem.”

Keressük meg a fő szerkezetet: (Juli elmegy és Éva itt marad) vagy (mindketten elmennek és Juli nem jön vissza és Éva vagy visszajön, vagy nem).
A „mindketten elmennek” valójában két állítás: Juli elmegy és Éva elmegy. A „de” logikailag „és”.
Válasszuk szét a neveket és a predikátumokat („félkész állításokat”): J (Juli), É (Éva); $E(\cdot)$ elmegy, $IM(\cdot)$ itt marad, $V(\cdot)$ visszajön.

Az eredmény:

(E(J) \wedge IM(É)) \vee \big((E(J) \wedge E(É)) \wedge \neg V(J) \wedge (V(É) \vee \neg V(É))\big)

Tipp

A „de”, „viszont”, „pedig” logikailag mind „és”. A „vagy… vagy” a magyarban gyakran kizáró vagy, de a logikában a $\vee$ megengedő („legalább az egyik”). Ha kizáró vagyot akarsz, írd fel külön: $(A \vee B) \wedge \neg(A \wedge B)$ .

Az elsőrendű nyelv

Definíció · klasszikus elsőrendű nyelv

L^{(1)} = \langle LC,\ Var,\ Con,\ Term,\ Form \rangle

$LC = \{\neg, \supset, \wedge, \vee, \equiv, \forall, \exists, (, )\}$ : a logikai konstansok (logikai jelek). Ez az egyetlen véges halmaz.
$Var = \{x_1, x_2, x_3, \dots\}$ : a változók.
$Con \ne \emptyset$ : a nemlogikai konstansok, a „félkész” neveket és állításokat jelölő jelek. $LC \cap Con = \emptyset$ .
$Term$ : a termek („összetett nevek”).
$Form$ : a formulák („összetett állítások”).

A logikai jelek jelentése:

jel	név	olvasd
$\neg$	negáció	nem
$\wedge$	konjunkció	és
$\vee$	diszjunkció	vagy
$\supset$	implikáció (kondicionális)	ha … akkor
$\equiv$	ekvivalencia	akkor és csak akkor
$\forall$	univerzális kvantor	minden
$\exists$	egzisztenciális kvantor	van olyan

A nemlogikai konstansok fajtái

A $Con$ elemeit aszerint osztályozzuk, hány „üres helyük” (argumentumuk) van:

fajta	mit jelöl	példa
$F^{(0)}$	név (0 argumentumú függvényjel)	Péter, én, $u$
$F^{(n)}$	függvényjel ( $n$ argumentum)	édesanyja $(\cdot)$ , $f(\cdot)$
$P^{(0)}$	állításjel (0 argumentumú predikátum)	havazik, $p$ , $q$
$P^{(n)}$	predikátum ( $n$ argumentum)	özvegy $(\cdot)$ , munkatársak $(\cdot, \cdot)$

Példa · az előadásból

„Péter anyai nagyanyja özvegy”: $\text{özvegy}(\text{édesanyja}(\text{édesanyja}(\text{Péter})))$
„Péter édesanyja a munkatársam”: $\text{munkatársak}(\text{édesanyja}(\text{Péter}), \text{én})$

Termek és formulák képzési szabályai

Definíció · termek (induktív definíció)

Minden változó és minden név term.
Ha $f \in F^{(n)}$ és $t_1, \dots, t_n$ termek, akkor $f(t_1, \dots, t_n)$ is term.
Más term nincs.

Definíció · formulák (induktív definíció)

Atomi formulák: minden $P^{(0)}$ -beli jel formula; ha $P \in P^{(n)}$ és $t_1, \dots, t_n$ termek, akkor $P(t_1, \dots, t_n)$ formula.
Ha $A, B$ formulák, akkor $\neg A$ , $(A \wedge B)$ , $(A \vee B)$ , $(A \supset B)$ , $(A \equiv B)$ is formulák.
Ha $A$ formula és $x$ változó, akkor $\forall x A$ és $\exists x A$ is formulák.
Más formula nincs.

A lényeg: a term valamit megnevez, a formula valamit állít. Függvényjel argumentumába term kerül, predikátum argumentumába is term, logikai jelek közé formula.

Interaktív

Term, formula vagy egyik sem?

Válassz minden sorban; a magyarázat a választás után jelenik meg.

édesanyja(édesanyja(Péter))

özvegy(édesanyja(Péter))

munkatársak(édesanyja(Péter), én)

¬havazik

édesanyja(özvegy(Péter))

∀x özvegy(x)

havazik ∧ Péter

[subject]/[topic]

Miről szól a logika?

Állítások és logikai kötőszavak

Formalizálás lépésről lépésre

Az elsőrendű nyelv

A nemlogikai konstansok fajtái

Termek és formulák képzési szabályai

Term, formula vagy egyik sem?